Пусть x − числитель дроби, тогда:
x + 3 − знаменатель дроби;
$\frac{x}{x+3}$ − исходная дробь;
$\frac{x+4}{x+3+8}=\frac{x+4}{x+11}$ − полученная дробь.
Так как, полученная дробь на $\frac{1}{6}$ больше исходной, можно составить уравнение:
$\frac{x+4}{x+11}-\frac{x}{x+3}=\frac{1}{6}$
x + 11 ≠ 0
x ≠ −11
и
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
$\frac{x+4}{x+11}-\frac{x}{x+3}=\frac{1}{6}$ | * 6(x + 11)(x + 3)
$6(x+3)(x+4)-6x(x+11)=(x+11)(x+3)$
$6(x^2+3x+4x+12)-6x^2-66x=x^2+11x+3x+33$
$6(x^2+7x+12)-6x^2-66x-x^2-11x-3x-33=0$
$6x^2+42x+72-7x^2-80x-33=0$
$-x^2-38x+39=0$ | * (−1)
$x^2+38x-39=0$
$D=b^2-4ac={38}^2-4\ast 1\ast (-39)=1444+156=1600>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-38+\sqrt{1600}}{2\ast 1}=\frac{-38+40}{2}=\frac{2}{2}=1$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-38-\sqrt{1600}}{2\ast 1}=\frac{-38-40}{2}=\frac{-78}{2}=-39$ − не является решением, так как числитель обыкновенной дроби должен быть натуральным числом, тогда:
$\frac{x}{x+3}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$ − исходная дробь.
Ответ: $\frac{1}{4}$